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Bloom Filter一站式学习
Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构,它利用位数组很简洁地表示一个集合,并能判断一个元素是否属于这个集合(一般来说,我们会用HASH表来存储集合中的数据,好处是快速准确,缺点是存储效率低,在海量数据时一般服务器无法存储。Bloom Filter针对哈希表存储效率低的问题,而衍生出来的一种算法。)。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的:在判断一个元素是否属于某个集合时,有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(false positive)。因此,Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下,Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。
集合表示和元素查询
下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时,Bloom Filter是一个包含m位的位数组,每一位都置为0。
为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合,Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数(Hash Function),它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x,第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为1(1≤i≤k)。注意,如果一个位置多次被置为1,那么只有第一次会起作用,后面几次将没有任何效果。在下图中,k=3,且有两个哈希函数选中同一个位置(从左边数第五位)。
在判断y是否属于这个集合时,我们对y应用k次哈希函数,如果所有hi(y)的位置都是1(1≤i≤k),那么我们就认为y是集合中的元素,否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合,或者刚好是一个false positive。
Bloom Filter算法
创建一个m位BitSet,先将所有位初始化为0,然后选择k个不同的哈希函数。第i个哈希函数对字符串str哈希的结果记为h(i,str),且h(i,str)的范围是0到m-1 。
(1) 加入字符串过程
下面是每个字符串处理的过程,首先是将字符串str“记录”到BitSet中的过程:
对于字符串str,分别计算h(1,str),h(2,str)…… h(k,str)。然后将BitSet的第h(1,str)、h(2,str)…… h(k,str)位设为1。
图1.Bloom Filter加入字符串过程
这样就将字符串str映射到BitSet中的k个二进制位了,很简单吧。
(2) 检查字符串是否存在的过程
下面是检查字符串str是否被BitSet记录过的过程:
对于字符串str,分别计算h(1,str),h(2,str)…… h(k,str)。然后检查BitSet的第h(1,str)、h(2,str)…… h(k,str)位是否为1,若其中任何一位不为1则可以判定str一定没有被记录过。若全部位都是1,则“认为”字符串str存在。
若一个字符串对应的Bit不全为1,则可以肯定该字符串一定没有被Bloom Filter记录过。(这是显然的,因为字符串被记录过,其对应的二进制位肯定全部被设为1了)
但是若一个字符串对应的Bit全为1,实际上是不能100%的肯定该字符串被Bloom Filter记录过的。(因为有可能该字符串的所有位都刚好是被其他字符串所对应)这种将该字符串划分错的情况,称为false positive 。
(3) 删除字符串过程
字符串加入了就被不能删除了,因为删除会影响到其他字符串。实在需要删除字符串的可以使用Counting bloomfilter(CBF),这是一种基本Bloom Filter的变体,CBF将基本Bloom Filter每一个Bit改为一个计数器,这样就可以实现删除字符串的功能了。
Bloom Filter跟单哈希函数Bit-Map不同之处在于:Bloom Filter使用了k个哈希函数,每个字符串跟k个bit对应。从而降低了冲突的概率。
错误率估计
前面我们已经提到了,Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(false positive rate),下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型,我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时,这个位数组中某一位还是0的概率是:
其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的),(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中,需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它,因此这个概率就是(1-1/m)的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算,这里用到了计算e时常用的近似:
令ρ为位数组中0的比例,则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下,要求的错误率(false positive rate)为:
(1-ρ)为位数组中1的比例,(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域,即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了,现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望,在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ,位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此,第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中,得:
相比p’和f’,使用p和f通常在分析中更为方便。
最优的哈希函数个数
既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢?这里有两个互斥的理由:如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。
先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m)),我们令g = k ln(1 − e−kn/m),只要让g取到最小,f自然也取到最小。由于p = e-kn/m,我们可以将g写成
根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2,也就是k = ln2· (m/n)时,g取得最小值。在这种情况下,最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外,注意到p是位数组中某一位仍是0的概率,所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着。
需要强调的一点是,p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn)),g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn),p’ = (1 − 1/m)kn,我们可以将g’写成
同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时,g’取得最小值。
位数组的大小
下面我们来看看,在不超过一定错误率的情况下,Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素,允许的最大错误率为є,下面我们来求位数组的位数m。
假设X为全集中任取n个元素的集合,F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x,在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果,即s能够接受x。显然,由于Bloom Filter引入了错误,s能够接受的不仅仅是X中的元素,它还能够є (u - n)个false positive。因此,对于一个确定的位数组来说,它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中,s真正表示的只有其中n个,所以一个确定的位数组可以表示
个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合,进而可以推出,m位的位数组可以表示
个集合。全集中n个元素的集合总共有
个,因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合,必须有
即:
上式中的近似前提是n和єu相比很小,这也是实际情况中常常发生的。根据上式,我们得出结论:在错误率不大于є的情况下,m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。
上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小,这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令f≤є,可以推出
这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过є,m至少需要取到最小值的1.44倍。
下面这张图可以很好的表示n和m取不同的值的时候,p的值。
根据这张图。我们可以计算出所需要的内存使用量。如果把错误率控制在1%以下的话。
1万 | 64KB |
10万 | 1MB |
100万 | 16MB |
1000万 | 256MB |
1亿 | <4GB |
可见占用的空间在key的数量在百万级别还是很划算的,但到了上亿的级别就不那么划算了。
Bloom Filter的插入和查询都是常数级别的,所以最大的问题就是占用内存过大。而初次分配内存的时候,如果没有能够确认槽位的个数。如果分配过多会导致内存浪费,太少就会倒是错误率过高。下面提到的两个改进方案可以分别解决这两个问题。
折叠
折叠是指当你初始化一个Bloom Filter的时候,可以分配足够大的槽位,等到Key导入完毕后,可以对使用的槽位进行合并操作。具体方法是将槽位切成两半,一边完全叠加到另一边上。减少内存的使用量。检查key的代码要做稍许改变。例:
通过这个操作,可以使实际使用的内存量减半。多执行几次,能减少更多。
动态扩展
通过折叠操作,可以解决分配过大的问题,但是如果一开始分配过小,就需要扩展槽位才行。如何扩展呢?只要按原尺寸再建立一个Bloom Filter数组。原来的那个保存起来,不再写入。有新的写请求的时候,就将数据写入到新的那个Bloom Filter数组里面去。等到新的也写满了,就再建立一个,以此类推。查询的时候,就需要遍历每一个Bloom Filter数组才行。但因为查询一个Bloom Filter数组的速度很快,查询一组Bloom Filter数组也不会太影响性能。使用这种手段可以是Bloom Filter的大小可以轻易的扩展。但这样做有个的缺陷,就是错误率会随着数组的增加而上升,因为实际的数组长度并没有增加。
通过上面的两个方法,就可以解决BloomFilter的分配内存的问题。但无论哪种方法都有自己局限性,折叠每次只能减半,不是很精确。动态增加的方法会造成错误率增加。最好还是能预先估计到这个BloomFilter的容量。
Bloom Filter扩展
Bloom filter将集合中的元素映射到位数组中,用k(k为哈希函数个数)个映射位是否全1表示元素在不在这个集合中。Counting bloom filter(CBF)将位数组中的每一位扩展为一个counter,从而支持了元素的删除操作。Spectral Bloom Filter(SBF)将其与集合元素的出现次数关联。SBF采用counter中的最小值来近似表示元素的出现频率。更多内容可查阅参考②相关文章。
应用举例
1.有10亿个url,如何判断一个新的url是否在这个url的集合中?
一个url平均长度为52,如果用Hash表解决的话,由于Hash表的存储效率一般只有50%,因此10个url大概需要100G内存,一般服务器无法存储。使用Bloom Filter,要求错误率小于万分之一。此时,输入元素n=10亿,最大错误率E=0.0001,可计算出:m=nlg(1/E)*1.44=57.6亿,大概需要7.2亿(57.6亿/8)个字节,即720M内存。Hash函数个数:k=(ln2)*(m/n) 大概4个Hash函数。
2.假设要你写一个网络蜘蛛(web crawler)。由于网络间的链接错综复杂,蜘蛛在网络间爬行很可能会形成“环”。为了避免形成“环”,就需要知道蜘蛛已经访问过那些URL。给一个URL,怎样知道蜘蛛是否已经访问过呢?稍微想想,就会有如下几种方案:
1). 将访问过的URL保存到数据库。
2). 用HashSet将访问过的URL保存起来。那只需接近O(1)的代价就可以查到一个URL是否被访问过了。
3). URL经过MD5或SHA-1等单向哈希后再保存到HashSet或数据库。
4). Bit-Map方法。建立一个BitSet,将每个URL经过一个哈希函数映射到某一位。
方法1~3都是将访问过的URL完整保存,方法4则只标记URL的一个映射位。
以上方法在数据量较小的情况下都能完美解决问题,但是当数据量变得非常庞大时问题就来了。
方法1的缺点:数据量变得非常庞大后关系型数据库查询的效率会变得很低。而且每来一个URL就启动一次数据库查询是不是太小题大做了?
方法2的缺点:太消耗内存。随着URL的增多,占用的内存会越来越多。就算只有1亿个URL,每个URL只算50个字符,就需要5GB内存。
方法3:由于字符串经过MD5处理后的信息摘要长度只有128Bit,SHA-1处理后也只有160Bit,因此方法3比方法2节省了好几倍的内存。
方法4消耗内存是相对较少的,但缺点是单一哈希函数发生冲突的概率太高。还记得数据结构课上学过的Hash表冲突的各种解决方法么?若要降低冲突发生的概率到1%,就要将BitSet的长度设置为URL个数的100倍。
总结
在计算机科学中,我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况,即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素:错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时,会有一定的错误率。也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。在增加了错误率这个因素之后,Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。
参考:
①yfkiss: http://blog.csdn.net/yfkiss/article/details/6948616
②jiaomeng: http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500
③heaad: http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2011/01/02/1924195.html
④我自然
: http://www.yankay.com/%E6%9F%A5%E8%AF%A2%E5%88%A9%E5%99%A8-bloom-filter%E8%AF%A6%E8%A7%A3/
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leveldb中bloomfilter的优化。
This is the bloom filter of 2.5 Million ... BloomFilter bf=new BloomFilter(); BitSet bitSet=bf.readBit(fileName); bf.setBits(bitSet); System.out.println(bf.exist("password")); } it will says true.
Respect! The original paper about bloom filter. Very beginning of hash error tolerate algorithm to get wanted data faster.
相似项发现主题中的shingling、simhash、bloom filter算法java实现,测试通过,附带测试数据。
这是一个java版的bloomFilter Hash函数集,并带有测试程序。在我的资源里还有一个c版的,函数功能相同,在我的应用中具有良好表现。
介绍Bloom Filter(布隆过滤器)原理、实现及具体应用,包含9个不同PPT及PDF文档资料,对Bloom Filter感兴趣、想学习的同学可以下载查看下
bloom filter的一些论文 有综述,有应用,较为详细 不过可能需要下载cnki的阅读器,这个比较好下,大家可以自己下个
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